TRABAJO CONTADURIA Y ADMINISTRACIÓN

TRABAJO

EJERCICIOS DE REPASO

RECTA

TALLER DE CONJUNTOS

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CONJUNTOS

Un conjunto es una colección de objetos, estos reciben el nombre de elementos o miembros. Los conjuntos se representan por medio de letras mayúsculas; Ejemplo: A = {a, b, c, d, e}; B = {a, e, o, p, g}


A: es el conjunto A, cuyos elementos son a, b, c, d, e
B: es el conjunto B, cuyos elementos son a, e, o p, g

Pertenece: (ϵ), Recordando lo visto en clase y teniendo como base los elementos A y B, podemos decir que:

aϵA, esto quiere decir a pertenece al conjunto A; aϵB y a pertenece al conjunto B.

También puedo deducir que pϵ A, en este caso se lee, que el elemento p no pertenece al conjunto A.

Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales, si y solo si los dos conjuntos poseen los mismos elementos.

A = {a, b, c, d, e}; B = { a, b, c, d, e} y C = { a, b, c}

Se puede concluir que A = B; B = A; pero Aǂ C y Bǂ C.

Subconjuntos: cuando los elementos de un conjunto están contenido en otro conjunto en su totalidad o parcialmente. A es un subconjunto de B, A⊂B ; B es un subconjunto de A, B Ͻ A. Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo. Cualquier subconjunto de A que no sea igual a A se denomina propio y cuando puede ser igual a A se denomina impropio.

Tomando como ejemplo el anterior, podemos deducir que: A⊂B y B Ͻ A

C es subconjunto propio de A y B; C⊂A y C⊂B.

Conjunto Vacio: (Ø), el conjunto vacio es un subconjunto de cualquier conjunto, además siempre es un subconjunto propio a excepción de si mismo. Ejemplo:

A = {a, b, c}, enumere todos los subconjuntos de A.

Entonces se tiene: { }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

Conjunto Universal (U): Es el conjunto de todos los elementos presentes en los subconjuntos A y subconjunto B. Ejemplo: Sea U el conjunto de los estudiantes de primer semestre que cursan la materia de matemáticas de la carrera de Administración de Empresas en la Universidad Francisco de Paula Santander.

A = {las mujeres de primer semestre que cursan la materia de matemáticas de la carrera de Administración de Empresas en la Universidad Francisco de Paula Santander}

B = {Los hombres de primer semestre que cursan la materia de matemáticas de la carrera de Administración de Empresas en la Universidad Francisco de Paula Santander}

Unión de Conjuntos: (U), es el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto universal.
AUB: A unión B

Ejemplo: A = {a, b, c, d, e} y B = {c, e, f, g, h}

Halle AUB: {a, b, c, d, e, f, g, h}

Intersección de Conjuntos: (∩). Son los elementos en común que están en el conjunto A y en el conjunto B. Tomando el ejemplo anterior se puede decir que:

A∩B = {c, e}

Complemento de un Conjunto: Sea U un conjunto universal y A es subconjunto de U, entonces el conjunto de todos los elementos de U, que no están presentes en el subconjunto A y se denota Ac. Ejemplo:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y A = {2, 4, 6, 8, 10}, halle Ac.

Ac = {1, 3, 5, 7, 9}.

Otros conceptos bajados de la web. ver archivo.

Ejercicio: Aplicaciones

Sea U el conjunto de casa de un condominio de la constructora La Prosperidad, y
A = {xϵ U/ x está terminada con cenefas de yeso}
B = {xϵ U/ x está terminada con pisos de mármol}
C = {xϵ U/ x está terminada con placa de yeso}

A se lee de la siguiente forma: A es el conjunto de todas las casa que pertenecen a U tal que x está terminada con cenefas de yeso, análogamente para B y C.

Halle: a) El conjunto de casas con al menos una de las opciones dadas.
b) El conjunto de casas exactamente con una de las opciones dadas.
c) el conjunto de casas con cenefas de yeso y placas de yeso, pero sin pisos de mármol.
Desarrollo:

Para el punto a) me piden con al menos una de las opciones dadas, lo que quiere decir que como mínimo una.

AUBUC

b) A∩Bc∩Cc = Hallamos los complemento de B y de C, luego hallamos la intersección entre el complemento de B y el complemento de C, después de esto de tener la intersección entre los dos complementos, se halla la intersección entre lo anteriormente hallado y el conjunto A.

Tambien  se puede obtener de la siguiente manera:

B∩Ac∩Cc = Hallamos los complemento de A y de C, luego hallamos la intersección entre el complemento de A y el complemento de C, después de esto de tener la intersección entre los dos complementos, se halla la intersección entre lo anteriormente hallado y el conjunto B.

C∩Ac∩Bc = Hallamos los complemento de A y de B, luego hallamos la intersección entre el complemento de A y el complemento de B, después de esto de tener la intersección entre los dos complementos, se halla la intersección entre lo anteriormente hallado y el conjunto C.

Se obtiene tres alternativas ya que el enunciado dice que exactamente una de las 3 opciones.

c) A∩C∩Bc = Se pide el enunciado con la opción de las cenefas de yeso y las placas de yeso pero sin los pisos de mármol. Como se pide excluir los pisos de mármol, se halla el complemento del conjunto B , Se halla la intersección entre el conjunto A y el conjunto C, después a lo que se hallo, también se le saca la intersección con el complemento de B.

LOGICA Y TEORIA DE CONJUNTOS

PROPOSICIONES, CONECTORES LOGICOS Y PROPIEDADES

Proposiciones: En matemáticas los razonamientos lógicos se utilizan realizando cierto tipo de oraciones llamadas proposiciones.

Ejemplo de proposición: El conjunto vacio, es aquel que no posee ningún elemento.

Como podemos ver es una oración en la que se puede deducir si es falso o verdadero.

Las proposiciones solo pueden tener dos enunciados: falso o verdadero pero no las dos cosas al mismo tiempo.

También se pueden presentar proposiciones abiertas, son aquellas las que no se puede concluir si es verdadera o falsa. Ejemplo: Ese país es de Sur América. Analizando la oración no se puede deducir si es falso o verdadero porque no conocemos cuál es el país al que se hace referencia, pero se puede volver una proposición modificándola. Por ejemplo: Colombia es un país de Sur América.

Valores de Verdad: Son las palabras que se asignan a cada proposición (verdadera o Falsa), estas reciben el nombre de valor de verdad o valores de certeza.

Ejemplo: La matemáticas es una ciencia que estudia el comportamiento cognoscitivo del ser humano. (Falso)

Según Idalberto Chiavenato, la administración es "el proceso de planear, organizar, dirigir y controlar el uso de los recursos para lograr los objetivos organizacionales". (Verdadera)

Falta información porque aun esta en construcción

VALOR DE VERDAD DEL CONDICIONAL


La proposición condicional p→q es falsa sólo cuando el antecedente o hipótesis es verdadero y la conclusión o tesis es falsa, en los demás casos es verdadera, es decir:

Ejemplo: Carlos dice a su esposa: “si me gano la lotería, entonces te compro un carro”.

Para el primer caso: Carlos se gana la lotería y le compra el carro a su esposa; en este caso mantiene la promesa. V

Segundo caso: Carlos se gana la lotería pero no le compra el carro a su esposa; en este caso no mantiene su promesa. F

Tercer caso: Carlos no se gana la lotería pero si le compra el carro a su esposa, mantiene la promesa de regalarle un carro. V

Cuarto caso: Carlos no se gana la lotería y tampoco le compra el carro a su esposa. En este caso el condicional es F.

p: La Hipótesis

q: Tesis.

Cuando la condicional, p→q; la tesis q puede deducirse lógicamente de la hipótesis p; entonces dicho condicional es una implicación y se escribe de la siguiente forma:

p q, indica que p implica a q.

Una implicación es una proposición condicional en la cual: las proposiciones están lógicamente relacionadas.

- Las conclusiones o tesis es una consecuencia lógica de la hipótesis.

- La conclusión o tesis es una consecuencia lógica para la hipótesis.

RECIPROCA Y CONTRARRECIPROCA DE UN CONDICIONAL.



A partir de una proposición p→q, podemos obtener otras dos proposiciones de gran utilidad cuando se trabaja en la deducción lógica. Estas dos proposiciones son:

q→p, llamada reciproca de p→q.

┐q→┐p, llamada la contrarreciproca de p→q



Ejercicio:

Elaborar la tabla de la verdad de las siguientes proposiciones compuestas.

┐p→(qν┐p), con el mismo ejemplo elaborar los casos vistos anteriormente.

a) p: Todo múltiplo de 12 es múltiplo de 4

q: (-5)3= -125.

b) p: En la ecuación 4/X = X/9 el valor de X es ± 6

q: La tercera parte de 45 es 12

c) p: el máximo común divisor de 12 y 15 es 60

q: El mínimo común múltiplo de 9 y 12 es 26

d) p: el 20% de 50 es 20

q: El triple de 83 es 259


Solución:

a) p: v; q: v

b) p: v; q: f

c) p: f; q: v

d) p: f; q: f


Por lo tanto:

BICONDICIONAL

Forma gramatical: Si y sólo si.

Símbolo lógico: ↔

Ejemplo: un ángulo es recto si y sólo si su medida es de 90º.

Un triangulo es equilátero si y sólo si tiene los tres lados congruentes.

Un número es divisible por 6 si y sólo si es divisible por 2 y por tres.



VALOR DEL BICONDICINAL: La proposición p↔q es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o cuando ambas proposiciones son falsas.

Ejemplo: Carlos dice a su esposa:

Te compro un carro si y solo si me gano la lotería.

Para el primer caso: Carlos se gana la lotería y le compra el carro a su esposa; en este caso mantiene la promesa. V

Segundo caso: Carlos se gana la lotería pero no le compra el carro a su esposa; en este caso no mantiene su promesa. F

Tercer caso: Carlos no se gana la lotería pero si le compra el carro a su esposa, mantiene la promesa de regalarle un carro. F, en este caso es falso ya que la condición era ganarse la lotería para él comprar el carro.

Cuarto caso: Carlos no se gana la lotería y tampoco le compra el carro a su esposa. En este caso es V ya que no se incumplió con la promesa ni con la condición

Ejercicio.


Realizar la tabla de la verdad de las siguientes proposiciones.

a) p: Un número es divisible por 3

q: Un número es múltiplo de 3


b) p: aЄA, significa que “a es un elemento del conjunto A”

q: Ø, representa el conjunto vacio.


c) p: Si 2X = 8 entonces x=4

q: las rectas paralelas se cortan



d) p: (23)5 = 28

q: (-2)5 = -32


e) p: En la universidad Francisco de Paula Santander no existe la carrera de Administración de Empresas.

q: El correo de la materia de matemáticas uno es matematicaspresencial@gamil.com