LOGICA Y TEORIA DE CONJUNTOS

PROPOSICIONES, CONECTORES LOGICOS Y PROPIEDADES

Proposiciones: En matemáticas los razonamientos lógicos se utilizan realizando cierto tipo de oraciones llamadas proposiciones.

Ejemplo de proposición: El conjunto vacio, es aquel que no posee ningún elemento.

Como podemos ver es una oración en la que se puede deducir si es falso o verdadero.

Las proposiciones solo pueden tener dos enunciados: falso o verdadero pero no las dos cosas al mismo tiempo.

También se pueden presentar proposiciones abiertas, son aquellas las que no se puede concluir si es verdadera o falsa. Ejemplo: Ese país es de Sur América. Analizando la oración no se puede deducir si es falso o verdadero porque no conocemos cuál es el país al que se hace referencia, pero se puede volver una proposición modificándola. Por ejemplo: Colombia es un país de Sur América.

Valores de Verdad: Son las palabras que se asignan a cada proposición (verdadera o Falsa), estas reciben el nombre de valor de verdad o valores de certeza.

Ejemplo: La matemáticas es una ciencia que estudia el comportamiento cognoscitivo del ser humano. (Falso)

Según Idalberto Chiavenato, la administración es "el proceso de planear, organizar, dirigir y controlar el uso de los recursos para lograr los objetivos organizacionales". (Verdadera)

Falta información porque aun esta en construcción

VALOR DE VERDAD DEL CONDICIONAL


La proposición condicional p→q es falsa sólo cuando el antecedente o hipótesis es verdadero y la conclusión o tesis es falsa, en los demás casos es verdadera, es decir:

Ejemplo: Carlos dice a su esposa: “si me gano la lotería, entonces te compro un carro”.

Para el primer caso: Carlos se gana la lotería y le compra el carro a su esposa; en este caso mantiene la promesa. V

Segundo caso: Carlos se gana la lotería pero no le compra el carro a su esposa; en este caso no mantiene su promesa. F

Tercer caso: Carlos no se gana la lotería pero si le compra el carro a su esposa, mantiene la promesa de regalarle un carro. V

Cuarto caso: Carlos no se gana la lotería y tampoco le compra el carro a su esposa. En este caso el condicional es F.

p: La Hipótesis

q: Tesis.

Cuando la condicional, p→q; la tesis q puede deducirse lógicamente de la hipótesis p; entonces dicho condicional es una implicación y se escribe de la siguiente forma:

p q, indica que p implica a q.

Una implicación es una proposición condicional en la cual: las proposiciones están lógicamente relacionadas.

- Las conclusiones o tesis es una consecuencia lógica de la hipótesis.

- La conclusión o tesis es una consecuencia lógica para la hipótesis.

RECIPROCA Y CONTRARRECIPROCA DE UN CONDICIONAL.



A partir de una proposición p→q, podemos obtener otras dos proposiciones de gran utilidad cuando se trabaja en la deducción lógica. Estas dos proposiciones son:

q→p, llamada reciproca de p→q.

┐q→┐p, llamada la contrarreciproca de p→q



Ejercicio:

Elaborar la tabla de la verdad de las siguientes proposiciones compuestas.

┐p→(qν┐p), con el mismo ejemplo elaborar los casos vistos anteriormente.

a) p: Todo múltiplo de 12 es múltiplo de 4

q: (-5)3= -125.

b) p: En la ecuación 4/X = X/9 el valor de X es ± 6

q: La tercera parte de 45 es 12

c) p: el máximo común divisor de 12 y 15 es 60

q: El mínimo común múltiplo de 9 y 12 es 26

d) p: el 20% de 50 es 20

q: El triple de 83 es 259


Solución:

a) p: v; q: v

b) p: v; q: f

c) p: f; q: v

d) p: f; q: f


Por lo tanto:

BICONDICIONAL

Forma gramatical: Si y sólo si.

Símbolo lógico: ↔

Ejemplo: un ángulo es recto si y sólo si su medida es de 90º.

Un triangulo es equilátero si y sólo si tiene los tres lados congruentes.

Un número es divisible por 6 si y sólo si es divisible por 2 y por tres.



VALOR DEL BICONDICINAL: La proposición p↔q es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o cuando ambas proposiciones son falsas.

Ejemplo: Carlos dice a su esposa:

Te compro un carro si y solo si me gano la lotería.

Para el primer caso: Carlos se gana la lotería y le compra el carro a su esposa; en este caso mantiene la promesa. V

Segundo caso: Carlos se gana la lotería pero no le compra el carro a su esposa; en este caso no mantiene su promesa. F

Tercer caso: Carlos no se gana la lotería pero si le compra el carro a su esposa, mantiene la promesa de regalarle un carro. F, en este caso es falso ya que la condición era ganarse la lotería para él comprar el carro.

Cuarto caso: Carlos no se gana la lotería y tampoco le compra el carro a su esposa. En este caso es V ya que no se incumplió con la promesa ni con la condición

Ejercicio.


Realizar la tabla de la verdad de las siguientes proposiciones.

a) p: Un número es divisible por 3

q: Un número es múltiplo de 3


b) p: aЄA, significa que “a es un elemento del conjunto A”

q: Ø, representa el conjunto vacio.


c) p: Si 2X = 8 entonces x=4

q: las rectas paralelas se cortan



d) p: (23)5 = 28

q: (-2)5 = -32


e) p: En la universidad Francisco de Paula Santander no existe la carrera de Administración de Empresas.

q: El correo de la materia de matemáticas uno es matematicaspresencial@gamil.com