CONJUNTOS

Un conjunto es una colección de objetos, estos reciben el nombre de elementos o miembros. Los conjuntos se representan por medio de letras mayúsculas; Ejemplo: A = {a, b, c, d, e}; B = {a, e, o, p, g}


A: es el conjunto A, cuyos elementos son a, b, c, d, e
B: es el conjunto B, cuyos elementos son a, e, o p, g

Pertenece: (ϵ), Recordando lo visto en clase y teniendo como base los elementos A y B, podemos decir que:

aϵA, esto quiere decir a pertenece al conjunto A; aϵB y a pertenece al conjunto B.

También puedo deducir que pϵ A, en este caso se lee, que el elemento p no pertenece al conjunto A.

Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales, si y solo si los dos conjuntos poseen los mismos elementos.

A = {a, b, c, d, e}; B = { a, b, c, d, e} y C = { a, b, c}

Se puede concluir que A = B; B = A; pero Aǂ C y Bǂ C.

Subconjuntos: cuando los elementos de un conjunto están contenido en otro conjunto en su totalidad o parcialmente. A es un subconjunto de B, A⊂B ; B es un subconjunto de A, B Ͻ A. Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo. Cualquier subconjunto de A que no sea igual a A se denomina propio y cuando puede ser igual a A se denomina impropio.

Tomando como ejemplo el anterior, podemos deducir que: A⊂B y B Ͻ A

C es subconjunto propio de A y B; C⊂A y C⊂B.

Conjunto Vacio: (Ø), el conjunto vacio es un subconjunto de cualquier conjunto, además siempre es un subconjunto propio a excepción de si mismo. Ejemplo:

A = {a, b, c}, enumere todos los subconjuntos de A.

Entonces se tiene: { }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

Conjunto Universal (U): Es el conjunto de todos los elementos presentes en los subconjuntos A y subconjunto B. Ejemplo: Sea U el conjunto de los estudiantes de primer semestre que cursan la materia de matemáticas de la carrera de Administración de Empresas en la Universidad Francisco de Paula Santander.

A = {las mujeres de primer semestre que cursan la materia de matemáticas de la carrera de Administración de Empresas en la Universidad Francisco de Paula Santander}

B = {Los hombres de primer semestre que cursan la materia de matemáticas de la carrera de Administración de Empresas en la Universidad Francisco de Paula Santander}

Unión de Conjuntos: (U), es el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto universal.
AUB: A unión B

Ejemplo: A = {a, b, c, d, e} y B = {c, e, f, g, h}

Halle AUB: {a, b, c, d, e, f, g, h}

Intersección de Conjuntos: (∩). Son los elementos en común que están en el conjunto A y en el conjunto B. Tomando el ejemplo anterior se puede decir que:

A∩B = {c, e}

Complemento de un Conjunto: Sea U un conjunto universal y A es subconjunto de U, entonces el conjunto de todos los elementos de U, que no están presentes en el subconjunto A y se denota Ac. Ejemplo:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y A = {2, 4, 6, 8, 10}, halle Ac.

Ac = {1, 3, 5, 7, 9}.

Otros conceptos bajados de la web. ver archivo.

Ejercicio: Aplicaciones

Sea U el conjunto de casa de un condominio de la constructora La Prosperidad, y
A = {xϵ U/ x está terminada con cenefas de yeso}
B = {xϵ U/ x está terminada con pisos de mármol}
C = {xϵ U/ x está terminada con placa de yeso}

A se lee de la siguiente forma: A es el conjunto de todas las casa que pertenecen a U tal que x está terminada con cenefas de yeso, análogamente para B y C.

Halle: a) El conjunto de casas con al menos una de las opciones dadas.
b) El conjunto de casas exactamente con una de las opciones dadas.
c) el conjunto de casas con cenefas de yeso y placas de yeso, pero sin pisos de mármol.
Desarrollo:

Para el punto a) me piden con al menos una de las opciones dadas, lo que quiere decir que como mínimo una.

AUBUC

b) A∩Bc∩Cc = Hallamos los complemento de B y de C, luego hallamos la intersección entre el complemento de B y el complemento de C, después de esto de tener la intersección entre los dos complementos, se halla la intersección entre lo anteriormente hallado y el conjunto A.

Tambien  se puede obtener de la siguiente manera:

B∩Ac∩Cc = Hallamos los complemento de A y de C, luego hallamos la intersección entre el complemento de A y el complemento de C, después de esto de tener la intersección entre los dos complementos, se halla la intersección entre lo anteriormente hallado y el conjunto B.

C∩Ac∩Bc = Hallamos los complemento de A y de B, luego hallamos la intersección entre el complemento de A y el complemento de B, después de esto de tener la intersección entre los dos complementos, se halla la intersección entre lo anteriormente hallado y el conjunto C.

Se obtiene tres alternativas ya que el enunciado dice que exactamente una de las 3 opciones.

c) A∩C∩Bc = Se pide el enunciado con la opción de las cenefas de yeso y las placas de yeso pero sin los pisos de mármol. Como se pide excluir los pisos de mármol, se halla el complemento del conjunto B , Se halla la intersección entre el conjunto A y el conjunto C, después a lo que se hallo, también se le saca la intersección con el complemento de B.